工程热电优值

热电器件的输出功率和转化效率是我们非常关注的两个指标。 对于经典的 \(\Pi\) 型器件， 如果考虑材料的性能不随温度变化， 我们是可以导出其输出功率和转化效率与材料性质的解析关系的， 还由此可以得到热电材料的两个性能指标: 功率因子和无量纲热电优值。 当考虑到材料性能随温度的复杂变化关系后， 我们无法再给出一个显式的解析解，只能考虑数值解法。 其中一个代表性的工作就是 Snyder 等人在定义器件优值时， 同时附带给出了一个可以进行差分求解器件效率的 Excel 工具。 但是，对于成对器件，这种方式就比较乏力了， 不但效率较低，而且不易处理器件尺寸的优化协调问题。 在此背景之下，刘等人提出了工程热电的相关理论， 在充分考虑材料性能温度依赖性的前提下， 给出了器件性能的半解析公式，以及一个修正后的功率因子和热电优值。 我们的程序包已经实现了单腿和双腿工程热电性能计算的功能， 并且提供了命令行接口。

基本原理

热电器件性能评估的本质是在求解一个电-热深耦合物理场的问题， 其核心问题可以归结为求解下面一个二阶微分方程:

(1)\[\frac{d}{dx}\left( \kappa \frac{dT}{dx} \right) + J^2 \rho - J \tau \frac{dT}{dx} = 0\]

这里 \(\kappa\) 、\(\rho\) 和 \(\tau\) 分别是热导率、电阻率和汤姆孙系数，\(J\) 是电流密度， 需要求解 \(T(x)\) 温度分布。 显然地，当材料性能都为常数时，方程 (1) 就是一个基本的二阶常微分方程，非常容易给出解析解。 然而，当材料性质是随着温度变化时，上面的方程就变得非常复杂了。 刘等人就是提出了一种办法可以处理这个复杂问题的办法， 即所谓的工程热电性能的概念。该理论中， 发电器件的能量转化效率和输出功率可以表达为:

(2)\[\eta = \eta _c \frac{ \sqrt{1+ZT_{eng} \alpha_1 \eta _c^{-1}} -1 }{ \alpha_0 \sqrt{1+ZT_{eng} \alpha_1 \eta _c^{-1}} + \alpha_2 }\]

(3)\[P_d = \frac{PF_{eng} \Delta T}{4L}\]

这里 \(\eta_c = (T_h-T_c)/T_h\) 是卡诺效率， \(T_h\) 和 \(T_c\) 分别是高、低温端的温度， \(ZT_{eng}\) 和 \(PF_{eng}\) 即为工程热电优值和工程功率因子， \(\alpha_i(i=0,1,2)\) 是一些无量纲的与材料性质相关的系数， 具体地可以参考原始的文献资料。 结论性地，我们会知道当材料性质温度无关时， (2) 和 (3) 会完全退化到经典的公式，与经典公式完全相容。

实际上，该理论中还给出了任意电流和截面比条件下的功率输出和热流输入， 比如对于热电单腿:

(4)\[P_{out} = \frac{V_{oc}^2}{R} \frac{m}{(1+m)^2}\]

(5)\[Q_{hot} = \frac{A}{L} \int_{T_c}^{T_h}\kappa(T)dT + I T_h S(T_h) - W_J I^2 R - W_T I \int_{T_c}^{T_h}\tau (T)dT\]

其中 \(m = R_L / R\) 为负载电阻 \(R_L\) 材料内阻 \(R\) 的比值，\(V_{oc}\) 为开路电压， \(I\) 为工作电流，\(A\) 和 \(L\) 分别为热电腿的截面积和高度， \(W_J\) 和 \(W_T\) 为焦耳热和汤姆孙热权重系数:

(6)\[\begin{split}R &= \frac{1}{\Delta T} \frac{L}{A} \int_{T_c}^{T_h}\rho (T)dT \\ V_{oc} &= \int_{T_c}^{T_h} S (T)dT \\ W_J &= \frac{ \int_{T_c}^{T_h} \int_{T}^{T_h} \rho (T)dTdT }{ \Delta T \int_{T_c}^{T_h}\rho (T)dT }\\ W_T &= \frac{ \int_{T_c}^{T_h} \int_{T}^{T_h} \tau (T)dTdT }{ \Delta T \int_{T_c}^{T_h}\tau (T)dT }\end{split}\]

在这个基础上我们就可以实现任意电流和尺寸器件的性能预测。

程序实现

这部分的程序实现就是严格按照定义公式进行计算。 通常情况下，可以调用命令 tef-engout 进行工程热电性能的计算， 它可以给出最优电流和截面比下的输出功率和转化效率。 对于更加复杂的功能，比如完整的性能与电流关系曲线， 就需要调用相关的模块。

命令行指令

我们可以通过 tef-engout -h 选项来查看帮助，

$ tef-engout -h
usage: tef-engout [-h] [-b] [-p] [-R] [-L LENGTH] [-s SUFFIX] INPUTFILE [OUTPUTFILE]

Calculate engineering thermoelectric performance - TEflow(0.0.1a3)

  >>> Prepare a data file with columns in 'TCSK' order for single-leg
  devices, or 'TCSKCSK' for paired-leg devices if the -p (--pair) option is
  enabled. The conductivity column can accept resistivity values using the
  -R (--resistivity) option. Currently, only evaluations for thermoelectric
  generators are supported.

positional arguments:
  INPUTFILE             Input file name (must be provided)
  OUTPUTFILE            Output file name (optional, auto-generated if omitted)

optional arguments:
  -h, --help            show this help message and exit
  -b, --bare            Output data without header
  -p, --pair            Enable the two-leg model, otherwise the single-leg model.
  -R, --resistivity     Use resistivity instead of the default conductivity.
  -L LENGTH, --length LENGTH
                        The leg length (or height) in mm. Defaults to 1 mm.
  -s SUFFIX, --suffix SUFFIX
                        Suffix for generating the output file name (default: engout)

对于热电单腿，输入文件需要依次包含 4 列数据： 温度(T[K]), 电导率(C[S/cm]), 塞贝克系数(S[uV/K]) 和热导率(K[W/(m·K)])。 对于热电单偶，我需要确保两种材料性能的温度取点一致， 输入文件需要依次包含 7 列: 第一列是 T, 然后是第一个材料的 C, S, 和 K, 再后面是另外一个材料的 C, S, 和 K。 假定数据文件名为 data.txt, 计算单腿器件性能:

$ tef-engout data.txt

计算双腿器件性能:

$ tef-engout --pair data.txt

相关的模块

我们提供了比较完整的函数和类文档，具体可以参考 engout 模块。